Lämpö – demo2019-12-30T14:26:20+02:00

2.1 Johdanto

Lukiofysiikan toisella kurssilla Lämpö tutustutaan termodynamiikan perusteisiin. Kurssin sisällöt ovat olleet pääsykokeessa vuosittain suuressa roolissa. Etenkin kurssin laskusovelluksia on esiintynyt runsaasti verrattuna moneen muuhun fysiikan kursiin. Teorian tuntemusta on mitattu lähinnä monivalintakysymysten muodossa. Tietenkin teorian osaaminen on perustana myös laskemiselle, mutta sen ulkoaopettelu ei ole olennaista.

Tässä luvussa ratkaisemme useita esimerkkilaskuja painottaen kurssin osa-alueita, joista myös valintakokeessa todennäköisimmin kysytään. Lisäksi esittelemme suuren määrän käsitteitä, joiden hallinta helpottaa monivalintojen lisäksi mahdollisiin sanallisiin tehtäviin vastaamista.

AihealuePääsykokeessa kysytty aiemmin
Paine ja hydrauliikka1) männän ja työnnön aiheuttama paine
2) hydrostaattinen paine tiputuksessa
3) paineen perusyhtälö silmänpainelaskussa
4) hydrostaattinen paine yhdistettynä Boylen lakiin (monivalinta)
5) hydrostaattisen paineen teoriaa (monivalinta)
6) hydrostaattinen paineen laskeminen (monivalinta)
Kaasujen yleinen tilanyhtälö1) kemiaan integroitu tehtävä, jossa ainemäärä selvitettävä yleisellä tilanyhtälöllä (pV=nRT)
2) kemiaan integroitu tehtävä (pV=nRT)
3) kaasujen yleinen tilanyhtälö pV=nRT (pieni osa kemian tehtävää)
4) Boylen laki
5) osapaineen teoriaa (monivalinta)
6) Boylen laki yhdistettynä hydrostaattiseen paineeseen (monivalinta)
Höyrynpaine ja ilmankosteus1) eri aineiden höyrynpaineiden teoriaa (monivalinta)
2) kylläinen höyrynpaine (monivalinta)
3) nesteen höyrynpaine (monivalinta)
Lämpöopin perusteet1) lämmön siirtymistavat (monivalinta)
Lämpölaajeneminen-
Lämpöenergia ja olomuodonmuutokset1) lämpöenergian siirtyminen lämpötilaerojen vaikutuksesta
2) lämpötilan muutokseen tarvittava energia
3) kalorimetrin lämpökapasiteetin laskeminen normaalisti lämpöenergioilla
4) lämpötilan nousuun tarvittava energiamäärä; sovellettava aineistoa
5) nesteen höyrystyminen (monivalinta)
6) eri aineiden kiehumispisteet (monivalinta)
7) kaasujen ominaisuudet (monivalinta)
8) lämpötilan muutokseen tarvittava energia sekä kWh-yksikön muunnos (monivalinta)
Faasikaaviot-
Lämpöopin pääsäännöt1) pääsääntö I: kaasun sisäenergian muutos, kaasuun tehtävä ja kaasun tekemä työ tilavuuden muuttuessa (monivalinta)
Lämpövoimakone-
Jäähdytyskone ja lämpöpumppu-
Energiavoimalaitokset-
Taulukko 2.1: Lämpö-kurssin aiheet

2.2 Paine ja hydrauliikka

Paineen perusyhtälö

Suure paine kuvaa voimaa pinta-alayksikköä kohden. Yksinkertaisimmillaan se on esimerkiksi ihmisen painon vaikutus jalkapohjien alla olevaan lattia-alueeseen. Kaasussa ja nesteessä paineen aiheuttama voima on seurausta molekyylien törmäyksistä niiden liikettä rajoittavan tilan seinämiin. Paineella, jota merkitään p-kirjaimella, tarkoitetaan siis voiman F suuruutta pinta-alaa A kohti:

p=\frac{F}{A}\qquad\qquad[p]=\frac{[F]}{[A]}=\frac{N}{m^{2}}= \textup{ Pa (pascal)}

Nesteessä ja kaasussa paine leviää tasaisesti ja vaikuttaa kohtisuorasti astian pintaa vastaan.

img_9632

Esimerkki 2.1 Kappaleen aikaansaama paine ei ole riippuvainen ainoastaan kappaleen massasta vaan myös pinta-alasta, jolle voima kohdistuu. Kumpi kohdistaa maahan suuremman paineen, 7500 kg painava norsu vai tyttö (m=55 kg), joka nojaa taaksepäin niin, että tämän paino on pelkkien korkojen varassa? Norsun jalkapohjan pinta-ala on 250 cm² ja korkokengän koron pinta-ala 1,0 cm².

Ratkaisu:

Norsun jalkojen kokonaispinta-ala on siis

4\cdot 250~cm^2 = 1000~cm^2 = 0,1 ~m^2

Täten sen paino kohdistaa maahan paineen, joka on suuruudeltaan

p=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}=\frac{7500~kg\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}}{0,1~m^{2}}=735\, 750~Pa\approx 740\, 000~Pa

Korkojen kokonaispinta-ala taas on

2 \cdot 1 ~cm^2 = 2~cm^2 = 0,0002~m^2

Maahan kohdistuva paine on siis

p=\frac{F}{A}=\frac{mg}{A}=\frac{55~kg\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}}{0,0002~m^{2}}=2 \, 697\, 750~Pa\approx 2\, 700\, 000~Pa

Tytön kohdistama paine lattiaan on siis yli 3,5-kertainen verrattuna norsuun.

Paineen yksiköt

Paineen yksikkö SI-järjestelmässä on pascal, jota merkitään tunnuksella Pa. Muita usein käytettyjä paineen yksiköitä ovat baari (bar) ja elohopeamillimetri (mmHg). Ennen käytettiin myös yksikköä torri (torr), joka on lähes yhtä suuri kuin elohopeamillimetri. Seuraavassa muuntosuhteita (huomaa pyöristysmerkit):

Normaali-ilmanpaine = 1 atm = 101 325 Pa = 1,01325 bar = 760 torr ≈ 760 mmHg

1 bar = 100 000 Pa

1 mmHg ≈ 133,322 Pa ≈ 1 torr

Viimeinen muuntosuhde ei sisälly valintakokeen kaavaliitteeseen. Kaavaliitteessä on kuitenkin kerrottu joka vuosi elohopean tiheys, joten yksikkömuunnoksen saa tehtyä hydrostaattisen paineen laskukaavalla: yksi elohopeamillimetri vastaa elohopean hydrostaattista painetta millimetrin syvyydessä. Elohopeamillimetrien ja pascalien välistä yksikkömuunnosta on tarvittu pääsykokeessa aiemmin, ja se on järkevää opetella myös tulevia valintakokeita varten:

p = ρgh

Tiheyden ρ paikalle syötetään elohopean tiheys (13 600 kg/m^3) ja korkeudeksi h elohopeapatsaan korkeus (m). Ratkaisuksi saadaan paine pascaleina.

Lisähämmennystä paineen perustehtäviin saadaan käsitteitä yli- ja alipaine käyttämällä. Systeemin, esimerkiksi kaasupullon tai autonrenkaan, sisäistä painetta verrataan ulkoiseen paineeseen, joka on yleensä ilmanpaine. Jos esimerkiksi kaasusäiliön sisällä vallitsee 2,1 baarin ylipaine, on kokonaispaine

p_{kok}=p_{yli}+p_{ilma}=2,1 ~bar +1,01325 ~bar =3,11325~bar \approx 3,1~bar

Esimerkki 2.2 Paineen vaihtelu esimerkiksi lentokoneen laskiessa voi synnyttää kovaakin korvakipua. Paine-ero tärykalvon eri puolilla aiheuttaa puristusvoiman, joka ärsyttää tärykalvon hermoja. Aikuisella ihmisellä lähes ympyränmuotoisen tärykalvon halkaisija on 1,0 cm. Mikä on flunssaisen henkilön tärykalvoon kohdistuva voima, kun kone laskeutuu 10 kilometrin korkeudesta, jossa matkustamon ilmanpaine on 82 kPa? Oleta, että henkilön korvatorvi on niin tukossa, ettei tärykalvon sisäpuolisen välikorvaontelon paine voi tasaantua laskeutumisen aikana.

img_9635

Ratkaisu:

Lasketaan aluksi tärykalvon pinta-ala:

A=\pi r^{2}=\pi (\frac{d}{2})^{2}=\pi (\frac{0,01~m}{2})^{2}=7,85398\cdot 10^{-5}~m^{2}

Tärykalvon sisäpuolella on siis laskeutumisen jälkeen edelleen 82 kPa:n paine. Ulkoiseen normaaliin ilmanpaineeseen verrattuna välikorvaontelossa vallitsee siis alipaine, joka on suuruudeltaan

101\, 325~Pa - 82\, 000 ~Pa = 19\, 325 ~Pa

Tämä alipaine on siis samansuuruinen kuin tärykalvon eri puolilla vallitseva paine-ero. Ero pyrkii tasaantumaan, jolloin tässä tilanteessa se kohdistaa tärykalvoon voiman, joka aistitaan kipuna. Voima on suuruudeltaan

F=pA=19\, 325 ~Pa \cdot 7,85398\cdot 10^{-5} ~m^{2}=1,51778 ~N\approx 1,5 ~N

Hydrostaattinen paine

Nesteellä ja kaasulla on luonnollisesti oma painonsa, joka aiheuttaa painevaikutuksen; tämä paine on suurempi syvemmällä väliaineessa. Kaasun tai nesteen omasta painosta aiheutuvaa painetta kutsutaan hydrostaattiseksi paineeksi. Hydrostaattinen paine on väliaineessa samalla syvyydellä aina yhtä suuri riippumatta astian muodosta ja vaikuttaa lisäksi yhtä suurena kaikkiin suuntiin.

Hydrostaattinen paine on riippuvainen ainoastaan nesteen väliaineen tiheydestä sekä syvyydestä, jossa paine mitataan. Yleensä kaasujen kohdalla paine-erot esimerkiksi kaasusäiliön sisällä ovat niin pieniä, että koko säiliön voidaan olettaa olevan vakiopaineessa laskuja laskettaessa.

Tarkastellaan sylinterimäistä nestepatsasta, jonka korkeus on h ja poikkipinta-ala A. Nestepatsaan tilavuus V on tällöin Ah, ja kun tiheyttä merkitään ρ:lla, saadaan nestepatsaan painoksi

G=mg=\rho Vg=\rho Ahg

Nyt tästä painosta aiheutuva hydrostaattinen paine p_{h} syvyydellä h on:

p_{h}=\frac{\rho Ahg}{A}=\rho gh

Hydrostaattista painetta on kysytty monena vuonna valintakokeessa, sillä se on helppo yhdistää osaksi muita tehtäviä, kuten paineen perusyhtälöllä tai kaasun yleisellä tilanyhtälöllä ratkeavia laskuja.

Kokonaispaine

Jos nesteeseen tai kaasuun vaikuttaa myös ulkoinen paine p_{0}, saadaan kokonaispaineeksi p syvyydellä h

p=p_{0}+p_{h}=p_{0}+\rho gh

Kaasujen pienestä tiheydestä johtuen on niistä aiheutuva hydrostaattinen paine vähäinen nesteisiin verrattuna. Kuitenkin esimerkiksi ilmanpaine on ilman hydrostaattisen paineen ilmentymä. Yhtälön termi p_{0} kuvaa yleensä ilmanpainetta.

Hydrostaattisen paineen sovelluksia

Lääketieteen pääsykokeessa hydrostaattista painetta on kysytty tähän mennessä ainoastaan helpoissa perustehtävissä. Tässä muutama tulevina vuosina mahdollinen laskuesimerkki.

Esimerkki 2.3 Potilaan ollessa tiputuksessa tippapussi tulee asettaa tarpeeksi korkealle kanyyliin nähden, jotta nesteen hydrostaattinen paine riittäisi siirtämään nestettä verenkiertoon. Tällöin kanyylissä nesteestä johtuvan paineen tulee olla 9,8 kPa. Kuinka korkealle tippapussi on asennettava, jotta nestemäinen lääke saataisiin verenkiertoon? Nestemäisen lääkkeen tiheyden voidaan olettaa olevan sama kuin veden.

img_9629

Ratkaisu:

p=9\, 800~Pa

Lähes samanlainen tehtävä on ollut myös valintakokeessa. Kysytty korkeus saadaan suoraan hydrostaattisen paineen yhtälöstä:

p={\rho}gh\qquad \Leftrightarrow\qquad h=\frac{p}{{\rho}g}=\frac{9\, 800~Pa}{1000~\frac{kg}{m^{3}}{\cdot}9,81~\frac{m}{s^{2}}}=0,99898~m \approx 1,0 ~m

Tippapussin on oltava 1,0 metrin korkeudella.

Esimerkki 2.4 Paineen mittaukseen voidaan käyttää U-putkea. Putken käyttö perustuu sen haaroissa olevien nestepintojen väliseen korkeuseroon. Kaasusäiliön painetta mitataan U-putken avulla, jolloin toinen sen päädyistä aukeaa kaasusäiliöön ja toinen normaaliin huoneilmaan. Kuinka suuri paine säiliössä vallitsee, kun elohopealla täytetyssä putkessa säiliön puolella olevassa haarassa nestepinta on 150 mm alempana?

img_9627

Ratkaisu:

h=150~mm\qquad \rho=13\, 600~kg/m^3

Nesteessä samalla korkeudella kokonaispaine on aina yhtä suuri. Nesteiden korkeuseron perusteella saadaan selvitettyä putken päiden välinen paine-ero. Lasketaan korkeuseroa vastaavan nestepatsaan hydrostaattinen paine:

p_{h}=\rho gh=13\, 600 ~\frac{kg}{m^{3}}\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}\cdot 0,150 ~m=20\, 012,4 ~Pa

Koska elohopean pinta on alempana säiliön puolella, on säiliössä vallitseva ylipaine nestepatsaan hydrostaattisen paineen suuruinen. Voidaan ajatella, että säiliön korkeampi paine työntää nestettä U-putken toista haaraa kohti. Kaasusäiliössä vallitseva paine on siis

p_{i}+p_{h}=101\, 325 ~Pa +20\, 012,4 ~Pa=121\, 337,4 ~Pa\approx 120 ~kPa

Kaasusäiliön paine on 120 kPa.

Eräs hydrostaattisen paineen sovellus on imupumppu. Imupumpun periaate on muodostaa tyhjiö pumpun letkuosaan, jolloin letku täyttyy vedestä tasoittaakseen paine-eron pumpun ulkopuolella olevaan ilmanpaineeseen nähden. Ilmanpaine siis ikään kuin työntää vettä pumpun letkuosaan, jossa paine on saatu laskemaan pumppauksen avulla. Mikään pumppu ei kuitenkaan pysty muodostamaan täydellistä tyhjiötä, joten imupumpun maksimiteho on vain teoreettinen. Imupumppuun perustuu esimerkiksi veden nostaminen kaivosta. Samaa periaatetta käytetään hyväksi myös juotaessa pillillä.

Esimerkki 2.5 Kuinka syvästä kaivosta imupumppu voi teoriassa nostaa vettä?

Ratkaisu:

Kun imupumppu muodostaa letkuun tyhjiön, nousevan nestepatsaan hydrostaattinen paine on saman suuruinen kuin ulkoinen ilmanpaine. Tällöin nestepatsaan korkeus on siis

p=\rho gh\Leftrightarrow h=\frac{p}{\rho g}=\frac{101325~Pa}{1000~\frac{kg}{m^{3}}\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}}=10,3287 ~m\approx 10 ~m

Imupumpulla voidaan nostaa vettä 10 metriä syvästä kaivosta.

Uppopumpun avulla voidaan nostaa nestettä monin verroin korkeammalle. Umppopumpun toiminta ei perustu hydrostaattiseen paineeseen; pumppu asetetaan nesteeseen, josta se työntää nesteen mekaanisesti letkuosaan.

Nesteen kokoonpuristumattomuus ja hydrauliikka

Hydraulisen voimansiirron perusta on paineen tasainen leviäminen nesteessä ja nesteen kokoonpuristumattomuus. Kun nesteeseen kohdistetaan voima F, nousee paine kaikkialla nesteessä. Koska paineesta aiheutuva voima on suoraan verrannollinen vaikutuspinta-alaan, isompaan pintaan kohdistuu samansuuruinen paine, mutta sen aiheuttava voima on suurempi. Hydrauliikkaa voidaan siis hyödyntää voiman suuruuden muuttamiseen. Tarkastellaan mäntiä A_{1} ja A_{2}, jotka ovat yhteydessä toisiinsa hydraulisen nesteen välityksellä. Havaitaan, että

p_{1}=\frac{F_{1}}{A_{2}}=p_{2}=\frac{F_{2}}{A_{2}}

Tästä saadaan verranto:

\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}

Esimerkki 2.6 Hydraulinen nosturi on eräs hydrauliikkaan perustuva sovellus, jota käytetään esimerkiksi auton nostamiseksi ilmaan renkaiden vaihdon yhteydessä. Kuinka suuri voima tarvitaan nostamaan yksi auton renkaista ilmaan, kun nosturin kuormamännän poikkipinta-ala on 45-kertainen pumppumännän pinta-alaan nähden? Auton kokonaismassa on 1 400 kg, ja voidaan olettaa, että paino jakautuu tasaisesti kaikille neljälle renkaalle.

Ratkaisu:

m=1\, 400~kg

Koska hydraulisessa nosturissa neste on kokoonpuristamatonta ja paine leviää tasaisesti nesteessä, käytettävän voiman aiheuttama paine on kaikkialla nesteessä sama. Tämä paine aiheuttaa siis autoa nostavan voiman.

Jotta yksi auton renkaista nousisi, tarvitaan nostovoimaksi F_{2}, joka on neljäsosa koko auton painovoimasta, koska paino jakautuu tasan neljälle renkaalle: F_{2}=\frac{1}{4}G.

\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}

F_{1}=\frac{F_{2}\cdot A_{1}}{A_{2}}=\frac{\frac{1}{4}GA}{45A}=\frac{\frac{1}{4}GA}{45A}=\frac{mg}{4\cdot45}=\frac{1400~kg\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}}{4\cdot45}=76,3 ~N\approx 76~N

Tarvittava voima on 76 N.

2.3 Kaasujen yleinen tilanyhtälö

Kaasujen yleinen tilanyhtälö pätee tarkasti vain ideaalikaasuille, joita käytetään reaalikaasujen mallintamiseen. Lukion fysiikan ja kemian tehtävissä tarkasteltavat kaasut ovat aina ideaalikaasuja, ellei toisin mainita. Seuraavaan taulukkoon oon koottu ideaali- ja reaalikaasujen merkittävimmät erot.

IdeaalikaasuReaalikaasu
Kaikki kaasun rakenneosat ovat samanlaisiaKaasun koostuu erikokoisista ja -massaisista rakenneosista.
Kaasun rakenneosat ovat pistemäisiä ja massattomiaTodellisuudessa rakenneosilla on vaihtelevia muotoja ja niillä on massa
Kaasun rakenneosien tilavuus on hyvin pieni verrattuna astian tilavuuteenKaasun rakenneosien tilavuus voi olla merkittävänkin suuri
Kaasun rakenneosat liikkuvat lämpöliikkeen vuoksi satunnaisesti eri suuntiinKaasussa voi esiintyä myös virtauksia, jolloin liike ei ole satunnaista
Rakenneosasien väliset törmäykset ovat täysin kimmoisiaRakenneosaset eivät törmää aina täysin kimmoisasti
Kaasu ei nesteydy paineistuksesta tai lämpötilan laskusta huolimattaKaasu saadaan nesteytettyä, kun sitä paineistetaan tai lämpötilaa lasketaan riittävästi
Hiukkaset vuorovaikuttavat vain törmäysten kauttaHiukkasten välillä on myös etävuorovaikutuksia, kuten sähköiset vuorovaikutukset
Kaasujen sisäenergia on riippuvainen ainoastaan lämpötilastaRakenneosien välillä on sähköisiä vuorovaikutuksia, jotka vaikuttavat sisäenergian suuruuteen
Taulukko 2.2: Ideaalikaasu ja reaalikaasu

 

Tarkastellaan ideaalikaasua, jonka lämpötila, tilavuus ja paine voivat muuttua.

Olkoon kaasun tilavuus alussa V_{1}, paine p_{1} ja lämpötila T_{1} ja vastaavasti lopussa V_{2}, p_{2} ja T_{2}. Kaasulle pätee kaasujen yleinen tilanyhtälö:

\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}V_{2}}{T_{2}}=vakio

Tutkitaan seuraavaksi tapauksia, joissa yksi yhtälön suureista pysyy vakiona kahden muun arvojen vaihdellessa.

Boylen laki

Kun lämpötila pysyy vakiona, tilanmuutosta kutsutaan isotermiseksi tilanmuutokseksi. Näitä kuvaava Boylen laki on tilanyhtälön erikoistapauksista tavanomaisin.

Kun lämpötila on vakio, kaasujen yleisestä tilanyhtälöstä saadaan

\frac{p_{1}V_{1}}{T}=\frac{p_{2}V_{2}}{T}=vakio

Lämpötilat voidaan supistaa pois, jolloin jäljelle jää Boylen lain mukainen reaktioyhtälö:

{p_{1}V_{1}}={p_{2}V_{2}}=vakio

Esimerkki 2.7 Tyhjään polkupyörän renkaaseen pumpataan ilmaa ympyrälieriön muotoisella pumpulla, jonka pituus on 42 cm ja männän halkaisija 3,2 cm. Aluksi renkaassa on 2 260 hPa:n ylipaine. Kuinka monta pumppausta tarvitaan täyttämään kyseinen rengas niin, että ylipaine olisi 3 730 hPa? Renkaan tilavuus 2,4 l ei muutu rengasta pumpattaessa.

Ratkaisu:

h=42~cm\qquad r=\frac{d}{2}=\frac{3,2~cm}{2}=0,016~m \qquad p_1=2\, 260~hPa\newline p_2=3\, 730~hPa\qquad V=2,4~l\qquad p_{i}=1\, 013,23~hPa

Tehtävässä voidaan soveltaa Boylen lakia, sillä lämpötilan ei oleteta muuttuvan pumppauksen aikana. Kaasulaskuissa tämän oletuksen voi usein tehdä, jos lämpötilasta ei puhuta tehtävänannossa tai lämpötilan arvoja ei olla annettu.

Renkaaseen pumpataan siis lisää ilmaa. Yhdessä pumppauksessa sitä saadaan renkaaseen pumpun tilavuuden verran normaali-ilmanpaineessa:

V_{p}=Ah=\pi r^{2}h=\pi (0,016~m)^{2}\cdot 0,42~m=3,3778\cdot 10^{-4}~m^{3}=0,33778~dm^{3}

Jotta voitaisiin laskea renkaan täyttämiseen tarvittavien pumppausten lukumäärä, täytyy ilmatilavuuksia vertailla samoissa olosuhteissa: renkaan ylipaineisen ilman tilavuudet ennen ja jälkeen täytön on siis muutettava normaali-ilmanpaineeseen. Tämä onnistuu Boylen lain avulla:

p_{1}V=p_{i}V_{1}\quad \Leftrightarrow\quad V_{1}=\frac{p_{1}V}{p_{i}}=\frac{(2\, 260 ~hPa+1\, 013,25 ~hPa)\cdot 2,4~l}{1\, 013,25 ~hPa}=7,7531 ~l

p_{2}V=p_{i}V_{2}\quad \Leftrightarrow\quad V_{2}=\frac{p_{2}V}{p_{i}}=\frac{(3\, 730 ~hPa+1\, 013,25 ~hPa)\cdot 2,4~l}{1\, 013,25 ~hPa}=11,235~l

Tähän paineen muutokseen tarvitaan siis ilmaa

V_{2}-V_{1}=11,235 ~l-7,7531 \textup{ l}=3,4819 ~l

Pumppauksien määrä saadaan siis laskettua nyt suoraan, kun molemmat tilavuudet ovat ilmoitettu normaalipaineessa:

\frac{3,4819~ll}{0,33778l}=10,308\approx 10

Tarvitaan kahden merkitsevän tarkkuudella 10 pumppausta. (Sanalliseen tehtävään on hyvä antaa erikseen sanallinen vastaus. Myös merkitsevät numerot täytyy ilmoittaa erikseen, koska muuten vastaus tulkittaisiin tässä tapauksessa yhden merkitsevän tarkkuudella annetuksi.)

Ideaalikaasut noudattavat Boylen lakia lämpötilan ollessa vakio. Todelliset kaasut taas noudattavat lakia sitä paremmin, mitä kauempana kaasumolekyylit ovat toisistaan. Tällöin kaasun tiheys on pieni, paine matala ja lämpötila pysyy tarpeeksi korkeana kiehumispisteen yläpuolella. Laskuissa kaasut oletetaan ideaalikaasuiksi, ellei toisin mainita tai anneta olettaa. Teoria on kuitenkin hyvä muistaa monivalintoja varten.

Charlesin laki

Vakiotilavuudessa tapahtuvaa tilanmuutosta kutsutaan isokooriseksi prosessiksi. Tällaisessa muutoksessa kaasujen yleinen tilanyhtälö supistuu muotoon

\frac{p_{1}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}=vakio

Yhtälön mukaan lämpötilan laskiessa lähelle absoluuttista nollapistettä myös paine laskee hyvin alhaiseksi. Reaalikaasu noudattaa yhtälöä siihen asti, kunnes höyry tiivistyy nesteeksi. Ideaalikaasut sen sijaan eivät tiivisty.

Käytännön esimerkki isokoorisesta reaktiosta on, kun viet suljetun muovipullon talvella ulos pakkaseen. Tällöin pullon sisällä olevan ilman tilavuus pysyy vakiona, ja lämpötilan laskiessa pullon sisäpuolella myös pullon sisäinen paine pienenee. Paine-erosta johtuen syntyy muovipullon pintaan kohdistuva voima, joka painaa pullon pintaa ruttuun. Näin siis lopulta pullon ja myös sen sisällä olevan ilman tilavuus muuttuvat.

img_9738

Esimerkki 2.8 Kun pakastinta yritetään aukaista heti sulkemisen jälkeen uudestaan, joutuu kahvasta vetämään huomattavasti tavallista kovempaa. Kuinka suuri voima täytyy kohdistaa jääkaappipakastimen oven reunassa olevaan kahvaan tässä tilanteessa? Pakastimen ollessa auki sen lämpötila nousee -18 °C:sta -13 °C:seen, mutta uudestaan aukaistaessa sen lämpötila on laskenut jo takaisin -18 °C:een. Pakastimen oven leveys on 55 cm ja korkeus 75 cm.

Ratkaisu:

p_{i}=101\, 325~Pa\qquad T_{1}=(-13+275,15)~K=260,15~K\newline T_{2}=(-18+273,15)~K=255,15~K\qquad a=0,55~m\newline b=\frac{0,55~m}{2}=0,275~m

Pakastimessa olevan ilman tilavuus ei muutu, joten tilannetta voidaan tarkastella isokoorisena prosessina. Avausta vastustava voima syntyy paine-erosta oven eri puolilla. Pakastimen ollessa auki ilman paine sen sisällä tasaantuu normaali-ilmanpaineeksi. Lasketaan, kuinka suuri alipaine pakastimeen muodostuu lämpötilan laskiessa takaisin -18 °C:een.

\frac{p_{i}}{T_{1}}=\frac{p_{2}}{T_{2}}\qquad \Leftrightarrow\qquad p_{2}=\frac{p_{i}T_{2}}{T_{1}}=\frac{101\, 325 ~Pa\cdot 255,15~K}{260,15~K}=99\, 378 ~Pa

Alipaine eli paine-ero pakastimen oven eri puolilla on siis

101 \, 325 ~Pa-99\, 378~Pa = 1\, 947~Pa

Tästä saadaan taas laskettua pakastimen oven keskiosaan kohdistuva voima paineen perusyhtälön mukaisesti

F= \Delta pA=1\, 947~Pa \cdot 0,55 ~m\cdot 0,75~m=803,14~N

Tehtävässä tarvitaan myös momentin periaatteiden ymmärtämistä, sillä kahva sijaitsee oven reunalla saranoiden vastaisella puolella. Kahvan etäisyys saranoista on a=0,55 m, ja koska paineen aiheuttama voima kohdistuu jääkaapin keskiosaan, voiman vaikutussuoran etäisyys pyörimisakselista (saranoista) on puolestaan b=0,275 m. Koska saranat sijaitsevat pyörimisakselilla, voidaan muodostaa yhtälö

F_{1}a=Fb\qquad \Leftrightarrow\qquad F_{1}=\frac{Fb}{a}=\frac{803,14~N\cdot 0,275~m}{0,55~m}=401,57~ N\approx 0,40 ~kN

Tarvittavan voiman suuruus on 0,40 kN.


img_9745

Gay-Lussacin laki

Vakiopaineessa tapahtuvaa tilanmuutosta kutsutaan isobaariseksi prosessiksi. Yleinen tilanmuutoksen yhtälö supistuu muotoon

\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}=vakio

Yhtälön mukaan lämpötilan laskiessa lähelle absoluuttista nollapistettä myös kaasun tilavuus lähestyy nollaa. Koska kaasujen rakenneosasilla on aina oltava tilavuus, myös Gay-Lussacin laki on yksi peruste lämpöopin kolmannelle pääsäännölle (ks. kappale 2.9 Lämpöopin pääsäännöt), jonka mukaan absoluuttista nollapistettä ei voi saavuttaa.

Avogadron laki

Samassa lämpötilassa ja paineessa yhtä suuret tilavuudet eri kaasuja sisältävät yhtä monta molekyyliä ja siis yhtä monta moolia kaasua. Tätä kutsutaan Avogadron laiksi. Avogadron laki yhdistää lukion kemian ja fysiikan sisältöjä.

Kun kaasun tilavuus on V, lämpötila T ja vallitseva paine p, voidaan Avogadron laki lausua muodossa

\frac{pV}{T}=vakio=nR

josta taas saadaan muodostettua yhtälö

pV=nRT

R on yleinen kaasuvakio, jonka suuruus on valintakokeen kaavaliitteessä ilmoitetulla neljän merkitsevän numeron tarkkuudella 8,314 J/K·mol. Vakio voidaan merkitä myös muodossa 0,08314 bar·dm³/mol·K. Jos muistaa yksikön molemmat muodot, on helppo välttää lähtöarvojen yksikkömuunnoksia laskutehtäviä ratkaistessa. Kaavaliittessää on kuitenkin annettu aina vain ensimmäiseksi mainittu yksikkö. Yhtälöihin lämpötila tulee sijoittaa käyttäen Kelvin-asteikkoa, kuten kaasuvakion yksiköstäkin voi jo päätellä. Kemiasta tuttu ainemäärä n taas saadaan moolimassan ja massan avulla seuraavasti:

n=\frac{m}{M}

Esimerkki 2.9 Painesäiliö on täynnä typpikaasua, joka on 65 baarin paineessa ja 25°C:n lämpötilassa. Laske säiliössä olevan typen tiheys.

Ratkaisu:

p=65~bar=65\cdot 10^{5}~Pa\qquad T=(273,15+25)~K=298,15~K

Jos tehtävässä käsitellään kaasuja ja niiden ominaisuuksia, on hyvin todennäköistä, että joutuu käyttämään Avogadron lakia tai siitä johdettuja laskukaavoja. Tällä kertaa ei tarkastella kaasun tilanmuutosta vaan pelkästään kaasun ominaisuuksia, joten voidaan käyttää suoraan Avogadron lakia. Avogadron laista saadaan pyöritettyä ratkaisukaava myös kaasun tiheydelle:

pV=nRT\qquad \Leftrightarrow\qquad  p(\frac{m}{\rho})=\frac{m}{M}RT\qquad \Leftrightarrow\qquad \rho=\frac{Mp}{RT}

Täytyy muistaa, että typpikaasu koostuu kaksiatomisista molekyyleistä (N_{2}). Sen moolimassa voidaan laskea jaksollisen järjestelmän moolimassojen mukaan:

M_{N_{2}}=2\cdot 14,006~\frac{g}{mol}= 28,012~\frac{g}{mol}=28,012\cdot 10^{-3}~\frac{kg}{mol}

Sijoittamalla tunnetut arvot oikeissa muodoissaan saadaan laskettua kaasun tiheys:

\rho=\frac{Mp}{RT}=\frac{28,012\cdot 10^{-3}~\frac{kg}{mol}\cdot 65\cdot 10^{5}~Pa}{8,314~\frac{J}{K\cdot mol}\cdot 298,15~K}=73,454~\frac{kg}{m^{3}}\approx 73~\frac{kg}{m^3}

Typpikaasun tiheys on 73 ~\frac{kg}{m^3}.

NTP-olosuhteet ja kaasun moolitilavuus

Kaasun normaali- eli NTP-olosuhteilla (Normal Temperature and Pressure) tarkoitetaan tilaa, jossa lämpötila on tasan 0^{\circ}C ja paine normaali ilmanpaine. Normaali-ilmanpaine on ilmoitettu valintakokeen kaavakokoelmasta, mutta NTP-lämpötila pitää muistaa itse.

Toinen tärkeä muistettava asia NTP-olosuhteista on kaasun moolitilavuuden käyttö: NTP-oloissa yksi mooli mitä tahansa kaasua vie tilaa 22,41 dm^{3}:

n=\frac{V}{V_{m}},

missä V_{m} on kaasun moolitilavuus 22,41 dm³/mol

Yhtälö voidaan perustella seuraavalla tavalla Avogadron lain mukaan. Tutkitaan, kuinka suuren tilavuuden yksi mooli ideaaalikaasua vie NTP-tilassa:

  • T = 273,15 K
  • p = 101 325 Pa
  • n = 1 mol

pV=nRT

V=\frac{nRT} {p}=\frac{1~mol\cdot8,314~J/Kmol\cdot273,15~K}{101\, 325~Pa}=0,0224127~m^{3}\approx22,41~dm^{3}

NTP-olosuhteissa yksi mooli ideaalikaasua vie siis tilavuuden 22,41 dm^{3}. Arvo on annettu myös valintakokeen kaavaliitteessä neljän merkitsevän numeron tarkkuudella.

Esimerkki 2.10 Laske typpikaasun tiheys NTP-olosuhteissa.

Ratkaisu:

Tiheys saadaan ratkaistua yksinkertaisella kaavan pyörittelyllä, jollaisia pääsykokeessakin on usein esiintynyt.

NTP-olosuhteissa kaasuille pätee laki

n=\frac{V}{V_{m}}\qquad \Leftrightarrow\qquad \frac{m}{M}=\frac{\frac{m}{\rho}}{V_{m}}

\rho=\frac{M}{V_{m}}=\frac{2\cdot 14,006~\frac{g}{mol}}{22,41~dm^{3}}=1,24998~\frac{g}{dm^{3}}\approx 1,25~\frac{kg}{m^{3}}

Typpikaasun tiheys on 1,25 ~\frac{kg}{m^3}.

2.4 Höyrynpaine ja ilmankosteus

Kylläinen höyrynpaine

Höyryä sanotaan kylläiseksi, mikäli aineen neste- ja kaasumuoto ovat dynaamisessa tasapainotilassa, eli tiivistymistä ja höyrystymistä tapahtuu yhtä runsaasti. Tila vaatii, että höyryä muodostuu suljettuun systeemiin, kuten kannella suljettuun kattilaan. Tällöin höyryä ei pääse karkaamaan, vaan sitä kertyy koko ajan kattilan sisällä olevaan ilmaan. Kun ilmatilassa on höyryä maksimimäärä, sanotaan höyryä kylläiseksi ja höyrynpainetta kylläiseksi höyrynpaineeksi. Kylläinen höyrynpaine on lämpötilasta riippuva vakio. Faasikaaviossa (ks. 3.8 Faasikaaviot) höyrystymiskäyrän jokaisessa pisteessä höyry on kylläistä.

img_9744

Ilmankosteus

Ihmisen hengitysteiden ja alveolien epiteeli on kosteaa, ja nestettä haihtuu tyypillisesti hengitysilmaan. Tavallisesti sisäänhengitetty ilma on vesihöyryn kyllästämää jo hengitysteissä. Onkin tarpeen tutkia sitä, miten paljon vettä höyrystyy hengitysilmaan. Tässä yhteydessä on hyödyllistä käyttää käsitettä ilmankosteus.

Ilman absoluuttinen kosteus \rho_{h} tarkoittaa veden massaa tilavuusyksikköä V kohden ilmassa:

\rho_{h}=\frac{m_{h}}{V}\qquad\qquad[\rho_{h}]=\frac{[m_{h}]}{[V]}=g/m^{3}

Maksimikosteudella \rho_{hmax}(T) tarkoitetaan vesihöyryn suurinta mahdollista määrää ilmassa. Tällöin vesihöyry on siis kylläistä. Maksimikosteus on määritetään lämpötilan funktiona, eli se riippuu lämpötilasta kasvaen lämpötilan noustessa.

Ilman suhteellinen kosteus \varphi on absoluuttisen kosteuden ja maksimikosteuden suhde:

\varphi=\frac{\rho_{h}}{\rho_{hmax}(T)}

Tavallisesti ilman suhteellinen kosteus ilmaistaan prosentteina maksimikosteudesta.

Ilmamassan jäähtyessä sen absoluuttinen kosteus pysyy likimain vakiona, mutta maksimikosteus pienenee. Tällöin suhteellinen kosteus siis suurenee. Kun jäähdyttämistä jatketaan edelleen, tulee vastaan lämpötila, jossa suhteellinen kosteus on 100 %, ja vesihöyrystä tulee kylläistä. Tätä pistettä kutsutaan kastepisteeksi. Ilman jäähtyessä sellaisen pinnan läheisyydessä, jonka lämpötila on kastepisteen alapuolella, alkaa vesihöyry tiivistyä pinnalle. Ilman suhteellinen kosteus on yleensä alle 100 %, ja siten esimerkiksi limakalvolta haihtuu lähes aina vettä ilmaan.

Esimerkki 2.11 Huoneilmassa on yhteensä 350 grammaa vettä. Mikä on huoneen lämpötila, kun sen tilavuus on 43 m³ ja suhteellinen kosteus 57 %? Entä mikä on huoneilman kastepiste? Käytä tehtävän ratkaisussa alla olevaa taulukkoa.

Lämpötila (ºC)Paine
mbar
Tiheys
g/m^{3}
1113,1210,01
1214,0210,66
1314,9711,34
1415,9812,07
1618,1713,63
1820,6315,37
2023,3717,29
2124,8618,33
2226,4319,42
Taulukko 2.3: Kylläisen vesihöyryn paine ja tiheys tietyssä lämpötilassa

 

Ratkaisu:

Yllä oleva taulukko löytyy myös laajemmin MAOL:ista ja jos vastaava tehtävä tulee pääsykokeeseen, liitetään taulukko myös kaavaliitteeseen. Taulukko kertoo kylläisen vesihöyryn tiheyden eli maksimikosteuden eri lämpötiloissa.

Huoneen absoluuttinen kosteus kuvastaa veden määrää huoneilmassa eli vesihöyryn tiheyttä:

p_{h}=\frac{m}{V}=\frac{450~g}{43~m^{3}}=10,4651~\frac{g}{m^{3}}

Kun on tiedossa suhteellinen sekä absoluuttinen kosteus, saadaan laskettua myös huoneilman maksimikosteus :

p_{hmax}=\frac{p_{h}}{0,57}=\frac{10,4651~\frac{g}{m^{3}}}{0,57}=18,35985~\frac{g}{m^{3}}

Taulukosta nähdään, että huoneilman lämpötilan ollessa 21 °C on maksimikosteus 18,33 g/m³. Kahden merkitsevän tarkkuudella huoneilman lämpötila on siis 21 °C.

Taulukosta voidaan myös katsoa, missä lämpötilassa huoneen maksimikosteus on tämänhetkinen absoluuttinen kosteus 10,4651 g/m³. Lämpötilassa 12 °C vesihöyryn tiheys on 10,66 g/m³, jolloin kahdella merkitsevällä huoneen kastepisteeksi saadaan 12 °C.

Nesteen höyrystyminen

Neste voi höyrystyä kaasuksi kahdella eri tavalla. Kun vertaillaan nesteen sisäistä painetta ulkopuolella vallitsevaan paineeseen, esimerkiksi ilmanpaineeseen, saadaan muodostettua ero arkikielessä usein sekoitettavien ilmiöiden kiehumisen ja haihtumisen välille. Luonnollisesti voidaan ajatella, että nesteen lämpötilan noustessa myös sen sisäinen paine nousee.

Haihtumista tapahtuu silloin, kun nesteen sisäinen höyrynpaine on pienempi kuin ulkoinen paine. Tällöin höyryä muodostuu ainoastaan nesteen pinnassa. Koska nousevan höyryn paine on aluksi pienempi kuin nesteen sisäinen höyrynpaine, haihtumista tapahtuu enemmän kuin höyryn tiivistymistä takaisin nesteeksi. Jos ilman tilavuus on pieni, se kyllästyy nopeasti vesihöyrystä, jolloin höyryn tiivistymistä tapahtuu samalla nopeudella kuin haihtumista. Tällöin on saavutettu kylläisen höyryn paine, joka on samansuuruinen kuin nesteen sisäinen höyrynpaine. Kylläisen höyryn paine ei kuitenkaan voi kasvaa ulkoisen paineen suuruiseksi, ellei lämpötilaa nosteta kiehumispisteeseen. Haihtumista tapahtuu siis kaikissa lämpötiloissa, eikä nesteen tarvitse olla kiehumispisteessä haihtuakseen.

Kiehumisessa taas lämpötila on kasvanut riittävän korkeaksi nostaen nesteen sisäisen höyrynpaineen ulkoisen paineen suuruiseksi tai jopa suuremmaksi. Tällöin höyryä alkaa muodostua myös nesteen sisällä, mikä havaitaan kuplien muodostumisesta.

Alla olevassa kuvassa vertaillaan veden haihtumista ja kiehumista.

TermiSelitys
Kylläinen höyrynpaineHöyryn paine, kun ilmatilassa on maksimimäärä höyryä. Tällöin tiivistyminen ja höyrystyminen ovat yhtä runsasta.
Absoluuttinen kosteus \rho_{h}Veden tiheys ilmassa:
\rho_{h}=\frac{m_{h}}{V}
Maksimikosteus \rho_{hmax}Vesihöyryn suurin mahdollinen määrä ilmassa. Tällöin höyry on siis kylläistä.
Suhteellinen kosteus \varphiAbsoluuttisen kosteuden ja maksimikosteuden suhde:
\varphi=\frac{\rho_{h}}{\rho_{hmax}}
KastepisteLämpötila, jossa suhteellinen kosteus on 100 % ja vesihöyry on kylläistä.
HaihtuminenHöyryä muodostuu nesteen pinnasta, kun nesteen sisäinen höyrynpaine on pienempi kuin ulkoinen paine.
KiehuminenHöyryä muodostuu myös nesteen sisällä, kun nesteen sisäinen höyrynpaine kasvaa yhtä suureksi kuin ulkoinen paine.
Taulukko 2.4: Höyrynpaineen ja ilmankosteuden keskeiset termit

2.5 Lämpöopin perusteet

Lämpötila ja lämpötila-asteikot

Molekyylitasolla lämpötila aiheutuu aineen rakenneosasten liikkeestä. Tätä liikettä kutsutaan Brownin liikkeeksi eli lämpöliikkeeksi. Aine on sitä lämpimämpi, mitä enemmän pienillä rakenneosilla on liike-energiaa, eli mitä suuremmalla nopeudella ne liikkuvat.

img_9743

Lämpötilan mittaamiseksi on olemassa useita asteikkoja. Lukion fysiikan oppimäärä edellyttää Celsius- ja Kelvin-asteikoiden käytön hallitsemista. SI-järjestelmässä lämpötila on perussuure, jota mitataan kelvineissä. Yleensä kuitenkin tehtävissä lämpötilojen lähtöarvot annetaan celsiusasteissa, joten yksikkömuunnosten osaaminen on välttämätöntä. Celsiusasteita voi käyttää laskuissa vain lämpötilan muutosta kuvaavien arvojen yksikkönä; muutosvälit ovat nimittäin identtiset Kelvin-asteikon kanssa (Δ°C=ΔK).

Celsius- ja kelvinasteiden välisissä muunnoksissa muutosluku on ±273,15. Etumerkki riippuu luonnollisesti siitä, kumpaan suuntaan muutos tapahtuu:

25~ \textdegree{C} = (25+273,15)~K= 298,15~K

350~K= (350-273,15)~\textdegree C= 76,85~\textdegree C

Celsius-asteikon nollapisteiksi on valittu veden sulamispiste (0 °C = 273,15 K) ja veden kiehumispiste (100 °C = 373,15 K) normaali-ilmanpaineessa. Absoluuttisen lämpötila-asteikon eli Kelvin-asteikon nollapiste on absoluuttinen nollapiste. Se on lämpötila, jossa lämpöliike on kokonaan loppunut eli aineen pienet rakenneosat pysyvät paikoillaan. Celsiusasteina absoluuttinen nollapiste on -273,15°C. Käytännössä absoluuttista nollapistettä ei voida saavuttaa, sillä aineiden rakenneosilla on aina jonkin verran liikettä sekä tilavuutta (ks. Charlesin laki). Toinen Kelvin-asteikon peruspiste on veden kolmoispiste (0,01 °C = 273,16 K, ks. 2.8 Faasikaaviot).

Termodynaamiset systeemit

Lämpöopissa tutkittavaa kohdetta tarkastellaan termodynaamisena systeeminä. Systeemin tilaa voidaan muuttaa eri tavoin, muun muassa lämmittämällä, jäähdyttämällä tai puristamalla. Systeemi voi olla esimerkiksi teekannussa oleva tee tai jääkaapin sisäinen ilma. Systeemin ulkopuolista tilaa kutsutaan ympäristöksi.

Termodynaamiset systeemit jaetaan kolmeen päätyyppiin: avoimeen, suljettuun ja eristettyyn systeemiin.

  1. Avoin systeemi voi vaihtaa sekä ainetta että energiaa ympäristön kanssa. Esimerkiksi järvi saa energiaa Auringosta ja menettää ainetta haihtumisen tähden.
  2. Suljettu systeemi voi saada tai luovuttaa energiaa ympäristön kanssa mutta ei vaihtaa ainetta, esimerkiksi suljettu limonadipullo.
  3. Eristetty systeemi ei voi vaihtaa ainetta eikä energiaa ympäristönsä kanssa. Eristetyn systeemin kohdalla tulee muistaa, että reaalielämässä ei voida saavuttaa täysin eristettyä systeemiä. Ainoa täydellinen eristetty systeemi on universumi itsessään. Käytännössä eristettynä systeeminä voidaan kuitenkin pitää esimerkiksi hyvää termospulloa.

img_9746

Lämmön siirtyminen

Lämmön siirtymistä tapahtuu spontaanisti suuremmasta lämpötilasta pienempään termodynamiikan nollannen ja toisen pääsäännön mukaan (ks. 2.9 Lämpöopin pääsäännöt). Siirtyminen voi tapahtua kolmella eri mekanismilla.

Lämmön johtumista eli konduktiota voi tapahtua joko kappaleen sisällä tai kappaleiden välillä. Johtuminen etenee aineessa rakenneosien värähdellessä paikoillaan ja näin saaden viereiset molekyylit myös värähtelemään. Tällöin energiaa siirtyy, mutta aine pysyy paikoillaan.

img_9747

Eri aineet johtavat lämpöä eri tavoin. Esimerkiksi metallit ovat erinomaisia lämmönjohteita, kun taas nesteet ja kaasut johtavat lämpöä selvästi huonommin. Molekyylitasolla lämmön johtuminen voidaan selittää aineen rakanneosasten välisillä sidoksilla, jotka metalleissa sallivat energian johtumisen hyvin. Kaasumolekyylien välillä sidoksia ei käytännössä ole, minkä takia ne johtavat lämpöä vielä huonommin kuin nesteet. Eri nopeudella tapahtuvan johtumisen takia metallikappale tuntuu kylmemmältä puiseen verrattuna, vaikka esineet olisivat samassa lämpötilassa.

Kulkeutuminen eli konvektio on lämmön siirtymismuoto, jossa lämpöenergia siirtyy väliaineen mukana. Esimerkiksi merivirrat ovat käytännön esimerkki lämmön konvektiosta. Tässä siirtymismuodossa siirtyy energian lisäksi siis myös ainetta.

img_9748

Säteileminen on kolmas lämmön siirtymismuoto, johon perustuu esimerkiksi Auringon lämmittävä vaikutus. Säteily on ainoa siirtymismuodoista, joka ei vaadi väliainetta siirtyäkseen.

img_9752

2.6 Lämpölaajeneminen

Kappaletta lämmitettäessä aineen pienet rakenneosat alkavat liikkua entistä nopeammin. On loogista, että samalla rakenneosat joutuvat keskimäärin kauemmas toisistaan ja aine laajenee. Tätä ilmiötä kutsutaan lämpölaajenemiseksi.

Pituuden lämpölaajeneminen

Kappaleen pituus muuttuu lämpötilan mukana oheisen yhtälön mukaisesti:

l=l_{0}(1+\alpha\Delta T)\qquad\Leftrightarrow\qquad{\Delta l}=l_{0}\alpha\Delta T

Yhtälössä l_{0} on kappaleen pituus ennen lämpötilan muuttumista, \Delta T lämpötilan muutos ja α pituuden lämpötilakerroin, joka on kullekin aineelle ominainen (hieman lämpötilasta riippuvainen) vakio. Lämpötilakertoimen yksikkö on

[\alpha]=1/K=1/^{\circ}C

Ensimmäinen yhtälö kertoo siis kappaleen lopullisen pituuden l, kun taas jälkimmäisellä yhtälön muodolla saadaan ratkaistua pituuden muutos Δl. Aineen laajetessa pituuden suhteellinen muutos \frac{\Delta l}{l_{0}} on siis suoraan verrannollinen lämpötilan muutokseen.

Pinta-alan laajeneminen

A=A_{0}(1+\beta\Delta T)\qquad\Leftrightarrow\qquad {\Delta A}=A_{0}\beta\Delta T

Pinta-alalle pätee myös sama sääntö, joskin pinta-alan lämpötilakerroin on noin kaksinkertainen pituuden lämpötilakertoimeen verrattuna: \beta\approx2\alpha. Pinta-alan laajenemiseen liittyen tarkastellaan usein tilannetta, jossa esimerkiksi metallilevyn keskellä on reikä. Kun levyä lämmitetään, havaitaan reiän laajeneminen samassa suhteessa, kuin jos reiän paikalla olisi samasta materiaalista tehty kappale. Jos reikä ei laajenisi ulospäin, ei kappale voisi pysyä ehjänä. Kiinteän aineen laajetessa sen muoto ei muutu, mistä johtuen reikä ei voi kasvaa sisään päin.

img_9749

Esimerkki 2.12 Raudasta tehdyssä metallilevyssä on keskellä reikä, jonka halkaisija huoneenlämmössä on 50,0 mm. Saadaanko alumiinista tehty kuula, jonka halkaisija on huoneenlämmössä 50,2 mm, pudotettua reiän läpi, kun levy ja kuula viedään ulos talvisena pakkasaamuna? Raudan pituuden lämpötilakerroin on 12 \cdot10^{-6}~ 1/K ja alumiinin 23\cdot 10^{-6}~1/K .

Ratkaisu:

d_{Fe}=50,0~mm\qquad d_{Al}=50,2~mm\qquad \alpha_{Fe}=12 \cdot10^{-6}~\frac{1}{K}\newline \alpha_{Al}=23\cdot 10^{-6}~\frac{1}{K}

Lämpölaajenemisen yhtälö pätee yhtä lailla kappaleiden jäähtyessä. Tällöin kappaleet kutistuvat lämpötilan laskiessa. Rajatapauksena voidaan pitää lämpötilaa, jossa alumiinikuulan halkaisija on yhtä suuri kuin rautalevyn halkaisija. Koska alumiinin lämpölaajenemiskerroin on suurempi, se myös pienenee enemmän lämpötilan laskiessa. Lasketaan, kuinka monta astetta kappaleiden lämpötilan pitäisi laskea, jotta reiän ja kuulan halkaisijat olisivat yhtä suuret:

d_{Fe}=d_{Al}

d_{Fe}(1+\alpha_{Fe}\Delta T)= d_{Al}(1+\alpha_{Al}\Delta T)

\Delta T=\frac{d_{Fe}-d_{Al}}{d_{Al}\alpha_{Al}-d_{Fe}\alpha_{Fe}}=\frac{0,0500~m-0,0502~m}{0,0502~\cdot 23\cdot 10^{-6}~\frac{1}{K}-0,0500\cdot 12\cdot 10^{-6}~\frac{1}{K}}=-360,620~K\approx -360~K

V: Kun lämpötila laskee huoneenlämpötilasta 360 K (=360 °C), kappaleiden säteet ovat yhtä suuret, ja lämpötilan laskiessa edelleen alumiinikuula putoaisi rautalevyssä olevan reiän läpi. Kun kappaleet viedään ulos, lämpötilaero ei voi olla näin suuri. Kuula ei siis putoa reiän läpi.

Tilavuuden laajeneminen

V=V_{0}(1+\gamma\Delta T)\qquad\Leftrightarrow\qquad{\Delta V}=V_{0}\gamma\Delta T

Tilavuudelle pätee samankaltainen yhtälö, jossa \gamma\approx3\alpha on tilavuuden lämpötilakerroin. Nesteillä ja kaasuilla (paineen ollessa vakio) puhutaan aina pelkästään tilavuuden lämpölaajenemisesta, kun taas kiinteillä aineilla laajeneminen on mahdollista kaikissa kolmessa tasossa (pituus, pinta-ala ja tilavuus).

Yksi huomioitava asia tilavuuden lämpölaajenemisesta on veden poikkeava laajeneminen. Kun vesi on nestemäisessä olomuodossa, sen tiheys kasvaa lämmetessä välillä 0 °C – 4 °C, sillä tällöin vesimolekyylit pääsevät lähemmäs toisiaan. Tiheyden kasvaessa tilavuus pienenee, jolloin se saa minimiarvonsa +4 °C:ssa. Tämän jälkeen tilavuus laajenee normaaliin tapaan lämpötilan kohotessa. Luonnossa kyseinen ilmiö nähdään esimerkiksi Suomessa kevään ja syksyn aikana tapahtuvasta järvien täyskierrosta, jossa 4-asteinen vesi painuu pohjaan ja sekoittaa veteen muodostuneet kerrokset.

img_9754

2.7 Lämpöenergia ja olomuodon muutokset

Lämpöenergialaskut ovat olleet fysiikan toisesta kurssista yleisimmin valintakokeessa esiintyvä laskutehtävätyyppi. Tehtäviä aiheesta on esiintynyt lähes vuosittain. Laskutehtävät ratkeavat usein samojen vaiheiden kautta. Kun muistaa, että energia säilyy, ja että lämpölaskuissa pohditaan energian luovuttamista ja vastaanottamista, pääsee pitkälle:

Q_{luovutus}=Q_{vastaanotto}

Lämpökapasiteetti

Lämpötila määräytyy aineen rakenneosasten liikkeen mukaan. Ideaalikaasuilla lämpöenergia Q on aineen kaikkien molekyylien liike-energioiden summa, mutta todellisten kaasujen, nesteiden ja kiinteiden aineiden lämpöenergiaan vaikuttavat myös rakenneosasten väliset sidokset. Siten kappaleen lämpöenergia riippuu kappaleen lämpötilasta ja rakenneosien lukumäärästä eli kappaleen massasta. Aina ei ole mahdollista tietää, mistä aineista kappale on tehty. Tällöin kappaleen kykyä varastoida lämpöä on kuvattava lämpökapasiteetilla. Lämpökapasiteettia merkitään tunnuksella C ja lämpöenergiaa symbolilla Q:

C=\frac{Q}{\Delta T}

Lämpökapasiteetin yksikkö on

[C]=\frac{[Q]}{[\Delta T]}=\frac{J}{K}=\frac{J}{^{\circ}C}

Ominaislämpökapasiteetti

Eri materiaalien kykyä sitoa lämpöä kuvataan ominaislämpökapasiteetilla, jonka tunnus on c. Se on lämpömäärä, jonka kilogramma ainetta sitoo lämmetessään yhden celsius- tai kelvinasteen.

c=\frac{C}{m}=\frac{Q}{m\Delta t}=\frac{Q}{m\Delta T}

Ominaislämpökapasiteetin yksikkö on

[c]=\frac{[Q]}{[m][\Delta T]}=\frac{J}{kgK}=\frac{J}{kg^{\circ}C}

Ominaislämpökapasiteetti on aineelle ominainen suure, joka riippuu jonkin verran aineen lämpötilasta. Aineen eri olomuodoilla on kuitenkin toisistaan merkittävästi poikkeavat ominaislämpökapasiteetit. Ominaislämpökapasiteetin ja lämpökapasiteetin erona on siis, että lämpökapasiteetti mitataan erikseen jokaiselle kappaleelle, kun taas ominaislämpökapasiteetti on eri aineilla eri suuruinen. Suureiden välillä vallitsee yhteys:

C = cm

Olomuotojen muutokset

Olomuodon muutoksia kuvaavat käsitteet ovat tuttuja jo peruskoulun puolelta. Kerrataan ne kuvan avulla:

img_9753

Härmistyminen ja sublimoituminen ovat arkielämässä hieman vieraampia olomuodon muutoksia. Esimerkiksi pakkasaamuna havaittava kuura on muuttunut vesihöyrystä suoraan kiinteään olomuotoon. Tällöin on siis tapahtunut härmistymistä.

Sublimoitumisesta esimerkkinä on pyykkien kuivuminen pakkasella. Ensin pyykin kosteus jäätyy kiinteäksi aineeksi, joka taas sublimoituu muuttuen suoraan vesihöyryksi.

Ominaissulamis- ja ominaishöyrystymislämpö

Kun ainetta lämmitetään ja se muuttaa olomuotoaan (kiehuu tai sulaa), kuluu energiaa aineen rakenneosasten välisten sidosten rikkomiseen. Aineen jähmettyessä tai tiivistyessä vastaava määrä energiaa vapautuu uusien sidosten muodostuessa.

Aineen ominaissulamislämpö s on lämpömäärä, joka on tuotava, jotta sulamispisteessään oleva kiinteä aine muuttuisi nesteeksi. Se ilmoitetaan massayksikköä kohden.

s=\frac{Q}{m}\qquad\Leftrightarrow\qquad Q=sm

Ominaishöyrystymislämpö r on vastaavasti lämpömäärä massaa kohti, joka on tuotava aineeseen, jotta se saataisiin höyrystymään.

r=\frac{Q}{m}\qquad\Leftrightarrow\qquad Q=rm

Sekä ominaissulamislämmön että ominaishöyrystymislämmön yksikkö on

[s]=[r]=\frac{[Q]}{[m]}=\frac{J}{kg}

Seuraavassa kuvaajassa vaaka-akselilla muuttujana on sitoutuneen energian määrä, kun taas pystyakselilla muuttujana on aineen lämpötila. Tarkastellaan kuvaajan avulla vaiheittain energian sitoutumista, kun ainetta lämmitetään:

  1. Kiinteä aine lämpenee: lämmittämiseen kuluu energiaa yhtälön Q=c_{k}m\Delta t mukaisesti.
  2. Aine saavuttaa sulamispisteen (0~^{\circ}C), jolloin kaikki sitoutuva energia kuluu olomuodon muutokseen. Tällöin lämpötila pysyy vakiona siihen asti, kunnes kaikki aine on muuttanut olomuotoaan. Energiaa sitoutuu yhtälön Q=sm mukaisesti.
  3. Neste lämpenee: energiaa sitoutuu yhtälön Q=c_{n}m\Delta t mukaisesti.
  4. Aine kiehuu eli muuttaa olomuotoaan, jolloin energiaa sitoutuu yhtälön Q=rm mukaisesti. Jälleen kaikki energia kuluu olomuodon muutokseen, ja lämpötila pysyy vakiona.
  5. Kaasu lämpenee: energiaa sitoutuu yhtälön Q=c_{h}m\Delta t mukaisesti.

Esimerkki 2.13 Mehua halutaan viilentää kuumana kesäpäivänä lisäämällä joukkoon neljä 20,0 gramman jääkuutiota, jotka on jäädytetty -18 °C:een pakastimessa. Mehua on lasissa 0,50 l, ja sen lämpötila ennen jääkuutioita on 25 °C. Mikä on mehun lopullinen lämpötila jäiden sulamisen jälkeen? Voidaan olettaa, että lasi toimii kuten eristetty systeemi, ja että mehu vastaa fysikaalisilta ominaisuuksiltaan vettä.

Ratkaisu:

m_{m}=0,50~kg\quad c_{j}=2,1~\frac{kJ}{kg\cdot \textdegree C}\quad m_{j}=4\cdot 20~g=80~g=0,080~kg\newline  T_{m}=25~\textdegree C\quad T_{j}=-18~\textdegree C\quad T_{0}=0~\textdegree C\quad  c_{m}=4,19~\frac{kJ}{kg \cdot\textdegree C}\newline s_{j}=333~\frac{kJ}{kg}

Mehun lämpötila laskee, kun lämpötilat pyrkivät tasoittumaan. Sen lämpötilan muutos on \Delta T_{m}=T_{m}-T_{l}. Tällöin jäähtymisreaktiosta luovutettu energia saadaan lausekkeella

Q_{luovutettu}=c_{m}m_{m}\Delta T_{m}=c_{m}m_{m}(T_{m}-T_{l})

Jään loppulämpötila on myös sama T_{l} Ensiksi kuitenkin jää lämpenee sulamispisteeseensä (0 °C), sulaa ja tämän jälkeen lämpenee loppulämpötilaansa vetenä. Jään lämpötilan muutos on siis \Delta T_{j}=T_{0}-T_{j}$ ja jäästä muodostuneen veden lämpötilan muutos \Delta T_{v}=T_{l}-T_{0}. Nämä reaktiot sitovat energiaa. Vastaanotetun energian suuruus on siis

Q_{vastaanotettu}=Q_{j}+Q_{s}+Q_{v}=c_{j}m_{j}\Delta T_{j}+s_{j}m_{j}+c_{v}m_{j}\Delta T_{v}\newline =c_{j}m_{j}(T_{0}-T_{j})+s_{j}m_{j}+c_{v}m_{j}(T_{l}-T_{0})

lampotehtava

Koska energia säilyy, voidaan edelliset lausekkeet yhdistää:

Q_{luovutettu}=Q_{vastaanotettu}

c_{m}m_{m}(T_{m}-T_{l})=c_{j}m_{j}(T_{0}-T_{j})+s_{j}m_{j}+c_{v}m_{j}(T_{l}-T_{0})

T_{l}=\frac{c_{m}m_{m}T_{m}-c_{j}m_{j}(T_{0}-T_{j})-s_{j}m_{j}}{c_{v}m_{j}+c_{m}m_{m}}=\frac{4,19\cdot 10^{3}~\frac{J}{kg\cdot ^{\circ}C}\cdot 0,50~kg\cdot 25~^{\circ}C-2,1\cdot 10^{3}~\frac{J}{kg\cdot ^{\circ}C}\cdot 0,080~kg\cdot (0~^{\circ}C-(-18~^{\circ}C))-333\cdot 10^{3}~\frac{J}{kg}\cdot 0,080~kg}{4,19\cdot 10^{3}~\frac{J}{kg\cdot ^{\circ}C}\cdot 0,080~kg+4,19\cdot 10^{3}~\frac{J}{kg^{\circ}C}\cdot 0,50~kg}\newline =9,3453~^{\circ}C\approx 9,3~^{\circ}C

Tehtävään voidaan sijoittaa lämpötilat sekä kelvineinä että celsiusasteina, sillä alkuperäinen lauseke koostuu lämpötilan muutosta kuvaavista termeistä.

2.8 Faasikaaviot

Faasikaavioihin liittyen kannattaa opetella hallitsemaan seuraavat tummennetut käsitteet.

Faasikaavio kuvaa tietyn aineen olomuotojen esiintymistä eri paineissa ja lämpötiloissa. Siinä jokaisella faasilla eli olomuodolla on oma alue, jota rajaavat kolme tasapainokäyrää: sublimoitumis-, sulamis- sekä höyrystymiskäyrä. Faasikaavio auttaa ymmärtämään olomuodon muutoksia sekä paineen ja lämpötilan vaikutusta niihin. Monesti ajatellaan, että olomuodon muutos tapahtuu lämpötilan ollessa sopiva, mutta faasikaaviot näyttävät myös paineen vaikutuksen.

Kolmoispiste on kaaviosta luettava lämpötilan ja paineen yhdistelmä, jossa kaikki kolme olomuotoa (kiinteä, neste, kaasu) ovat tasapainossa. Esimerkiksi veden kolmoispisteessä lämpötila on 273,16 K ja paine 613 Pa.

Kriittinen piste on höyrystymiskäyrän päättävä piste. Tätä korkeammassa lämpötilassa höyryä kutsutaan kaasuksi. Toisin kuin höyryn tapauksessa, kaasua ei saada painetta kasvattamalla muutettua nesteeksi.

On hyvä muistaa, että jokaisella aineella on omanlainen faasikaavio. Veden faasikaavio tulee varmasti useimmiten vastaan lukion fysiikassa.

2.9 Lämpöopin pääsäännöt

Termodynamiikan perusteita kuvataan usein neljän pääsäännön avulla. Ensimmäistä pääsääntöä lukuun ottamatta pääsäännöistä ei ole lukion fysiikassa suoria laskutehtäviä.

Termodynamiikan nollas pääsääntö

Eristetyssä systeemissä lämpötilaerot tasoittuvat eri kappaleiden ja systeemin osien välillä. Tätä kutsutaan termiseksi tasapainoksi.

Termodynamiikan ensimmäinen pääsääntö

Energian säilymislain nojalla eristetyn systeemin energian kokonaismäärä on vakio. Mikroskooppisesti systeemin sisäenergia on sen rakenneosien potentiaali- ja liike-energiaa. Lämpöopin ensimmäisen pääsäännön mukaan systeemin sisäenergian suuruutta voidaan muuttaa siirtämällä energiaa joko lämpönä (ΔQ) tai työnä (ΔW). Molempien muotojen välityksellä energiaa voidaan sekä siirtää systeemiin että siitä pois. Matemaattisesti lämpöopin ensimmäinen pääsääntö voidaan siis ilmoittaa muodossa

\Delta U=\Delta Q+\Delta W

On tärkeä osata myös yhtälöön liittyvät merkkisäännöt:

  • kun systeemistä poistuu lämpöä (systeemin sisäenergia ja lämpötila laskevat), on Q luonnollisesti negatiivinen
  • kun systeemiin siirretään lämpöä (systeemin sisäenergia ja lämpötila nousevat), Q on positiivinen
  • kun systeemi tekee työtä ympäristöön, W saa negatiivisen etumerkin
  • kun ympäristö tekee työtä systeemiin, on W:n etumerkki positiivinen.

Makroskooppisesti sisäenergian muutokset voidaan havaita systeemin lämpötilan, paineen, tilavuuden tai olomuodon muutoksina. Ideaalikaasuihin liittyen on hyvä tietää, että koska sisäenergian oletetaan koostuvan rakenneosien liike-energiasta, aiheuttavat sen muutokse aina myös lämpötilan muutoksia. Tämän perusteella voidaan päätellä, että ideaalikaasun isotermisessä reaktiossa (T = vakio) myös U = vakio eli ΔU = 0. Yleisesti tämä ei todellisille aineille, sillä esimerkiksi olomuodon muutoksissa sisäenergia muuttuu, vaikka lämpötila pysyykin vakiona.

Kaasu ja työ

Kaasun laajetessaan tekemä työ voidaan perustella sen aiheuttaman paineen avulla. Käytetään esimerkkinä kaasusäiliötä, jonka päähän on liitetty herkkäliikkeinen mäntä. Kaasun laajetessa vakiopaineessa tilavuuden ΔV mäntä liikkuu etäisyyden Δx. Työn lauseke saa tällöin muodon

W=F{\Delta}x=pA{\cdot}{\Delta}x=p{\Delta}V

Yhtälön mukaan isobaarisessa prosessissa kaasun tekemä työ on suoraan verrannollinen sen laajenemaan tilavuuteen. Tulkinta graafisesta esitysmuodosta on myös hyvin tärkeää osata tehdä: työ kuvaa käyrän ja x-akselin väliin jäävä pinta-alaa (V,p)-koordinaatistossa. Kuvaajan ominaisuudet käydään tarkemmin läpi kappaleessa 2.10 Lämpövoimakone.

Systeemiin tuotu lämpö

Toinen tapa muuttaa systeemin sisäenergiaa on joko tuoda siihen lämpöenergiaa Q tai poistaa sitä, joilloin täytyy muistaa lisätä energian tunnuksen eteen negatiivinen etumerkki. Energian siirtymisen seurauksena systeemin lämpötila yleensä muuttuu. Jos kyseessä on kaasusysteemi, myös systeemin paine voi muuttua. Joissakin lämpövoimakoneissa tilavuutta pidetään vakiona, jolloin puhutaan isokoorisesta prosessista. Tällöin (V,p)-koordinaatistoon muodostuu y-akselin suuntainen suora, ja sisäenergian muutos johtuu ainoastaan lämpöenergiasta Q:

\Delta U= \pm Q, sillä W=0

img_9761

Termodynamiikan II pääsääntö

Lämpöopin toisen pääsäännön mukaan eristetyn systeemin entropia kasvaa kaikissa prosesseissa. Entropia kuvaa systeemin epäjärjestystä, ja se on suurimmillaan tasapainotilassa. Tämän merkitys nähdään siinä, että kaikilla luonnonilmiöillä on tietty suunta kohti tasapainotilaa. Esimerkiksi tiputettaessa väriainepisara vesilasiin se sekoittuu ajan kanssa veteen muodostaen tasapainotilan, jossa entropia on siis suurimmillaan. Vastakkaiseen suuntaan eteneviä tapahtumia (liuenneesta väriaineesta pisaraksi) pidetään nykytiedon mukaan mahdottomana.

img_9760

(By BruceBlaus – Wikipedia)

Toinen pääsäännön merkitys havaitaan energian huononemisessa. Ensimmäisen pääsäännön mukaan energia säilyy, mutta se voi muuntaa muotoaan. Huononemisesta puhutaan, kun energia muuntuu sellaiseen muotoon, ettei sitä pystytä muuntamaan enää alkuperäiseksi energialajiksi. Esimerkiksi mekaanisen energian muuntumista lämmöksi pidetään energian huononemisena, koska lämpöenergiaa ei voida suoraan saada takaisin liike-energiaksi. Tämä tekee ikiliikkujan kehittämisestä mahdotonta.

Ikiliikkujan lisäksi lämpöopin toinen pääsääntö kieltää lämpövoimakoneen, joka voisi muuntaa energiaa työksi ilman hukkaenergiaa. Jos kaikki energia Q saataisiin muutettua työksi W, olisi koneen hyötysuhde

\eta=\frac{W}{Q}=1

Tämä on kuitenkin mahdotonta juuri yllä mainitun energian huononemisen takia.

img_9758

Termodynamiikan III pääsääntö

Kolmannen pääsäännön mukaan absoluuttista nollapistettä (0 K eli -273,15 °C) ei voida saavuttaa. Tällöin esimerkiksi isobaarisessa reaktiossa (Gay-Lussacin laki) kaasun tilavuus pienenisi nollaan, mikä on fysikaalisesti mahdotonta. Tässä lämpötilassa myöskään rakenneosasilla ei olisi lainkaan liike-energiaa.

2.10 Lämpövoimakone

Kone on laite, joka muuntaa energiaa muodosta toiseen. Lämpövoimakoneen periaate on, että se ottaa lämpöä Q_{1} lämpösäiliöstä, jonka lämpötila on T_{1}, ja luovuttaa osan lämmöstä Q_{2} kylmäsäiliöön, jonka lämpötila on T_{2}. Lämpömäärä, joka jää siirtymättä kylmäsäiliöön, muunnetaan mekaaniseksi työksi W.

Yksinkertaisena esimerkkinä voidaan pitää ideaalikaasulla täytettyä sylinteriä, johon on liitetty mäntä, jota kaasu liikuttaa. Koneen tekemää työtä suljetussa systeemissä (ks. 2.5 Termodynaamiset systeemit) voidaan mallintaa alla esitellyn kiertoprosessin avulla:

Prosessi voidaan jakaa neljään peräkkäiseen vaiheeseen. Käytetään hyväksi lämpöopin ensimmäistä pääsääntöä ja yllä olevaa kuvaajaa. Kaasun oletetaan käyttäytyvän ideaalikaasun tavoin.

1) Välillä AB kaasu on lämpösäiliön lämpötilassa (T_{1}). Kaasu laajenee isotermisesti tehden laajetessaan ympäristöön työn, joka saadaan graafisesti integroimalla käyrästä AB (W = p \Delta V ). Kaasun laajetessa siihen täytyy siirtyä lämpösäiliöstä lämpömäärä Q_{1}, joka on suuruudeltaan identtinen ympäristöön tehtyyn työhön nähden, sillä isotermisessä reaktiossa lämpötilan pysyessä vakiuona myös \Delta U=0 ja näin ollen

\Delta U = \Delta W+Q = 0, \textup{ jolloin } \Delta W = -Q

2) Välillä BC kaasu on eristettynä sekä lämpösäiliöstä että kylmäsäiliöstä. Kaasun tilavuus kasvaa lämpötilan laskiessa T_{1}\Rightarrow T_{2}, jolloin myös paine laskee. Koska kaasu on eristettynä sekä kylmä- että lämpösäiliöstä, lämpöä ei siirry kaasun ja ympäristön välillä. Kaasu tekee kuitenkin työtä ympäristöön, mikä havaitaan kaasun lämpötilan laskuna ja sen sisäenergian pienenemisenä. Ilmiötä kutsutaan adiabaattiseksi prosessiksi.

3) Välillä CD kaasu on yhteydessä kylmäsäiliöön, jonka lämpötila on T_{2}. Ympäristö tekee kaasuun työn, joka on välin CD graafinen integraali. Kaasun tilavuus pienenee, ja paine kasvaa isotermisesti; toisin sanoen kaasu tekee negatiivisen työn. Työ on pienempi kuin välillä AB kaasun tekemä työ, mikä voidaan havaita vertailemalla käyrien graafisia integraaleja. Prosessin CD aikana lämpömäärä Q_{2} siirtyy kaasusta kylmäsäiliöön, sillä lämpötila pysyy jälleen vakiona, ja \Delta U =0.

4) Välillä DA kaasun lämpötila kasvaa ilman lämmön siirtymää (Q). Kyseessä on siis jälleen adiabaattinen prosessi. Ympäristö puristaa kaasua kokoon entisestään (välillä BC tehty työ “ palautuu” kaasulle), jolloin lämpötila ja paine kasvavat kaasun tilavuuden pienentyessä. Tällöin kaasun sisäenergia kasvaa tehdyn työn verran.

Myös muunlaisia kuvaajia kiertoprosesseista esiintyy. Tässä käsiteltyä kiertoprosessia kutsutaan ideaaliseksi Carnot-kiertoprosessiksi. Lukion fysiikassa ei tarvitse tunnistaa kuvaajien perusteella erilaisia kiertoprosesseja. Kiertoprosesseista on kuitenkin hyvä tunnistaa tyypilliset isotermiset, isobaariset ja isokooriset reaktiot, joista kaksi viimeistä näkyvät (V,p)-koordinaatistossa koordinaattiakseleiden suuntaisina siirtyminä. Oleellisinta on ymmärtää, miten suureet lämpö (Q), työ (W) ja sisäenergia (U) muuttuvat kiertoprosessin eri vaiheissa.

Hyötysuhde

Johdetaan lämpövoimakoneen yleinen hyötysuhde yllä kuvaillun syklin avulla.

Syklin aikana kaasu on ottanut vastaan lämpömäärän Q_{1}, luovuttanut lämpömäärän Q_{2}, tehnyt mekaanisen työn W ja päätynyt takaisin lähtötilaan. Sisäenergian muutos on tällöin

\Delta U=\Delta Q+\Delta W

Koska kaasu palaa takaisin lähtötilaan A, on kiertoprosessissa sisäenergian muutos \Delta U=0. Sisäenergian muutoksen ollessa 0 voidaan johtaa lämpövoiman tekemä työ:

\Delta Q-\Delta W=0 \quad\Leftrightarrow\quad W=Q_{1}-Q_{2}

Lämpövoimakoneen kuluttama energiamäärä on lämpösäiliöstä otettu lämpömäärä Q_{1}, joten lämpövoimakoneen hyötysuhde voidaan laskea työn suhteena tähän lämpömäärään:

\eta=\frac{W}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}=1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}}

Ideaalinen lämpövoimakone vastaanottaa ja luovuttaa lämpöä täysin isotermisesti, eli lämpö vastaanotetaan, kun kaasu on kuumimmillaan ja luovutetaan, kun se on kylmimmillään. Käytännössä näin ei ole, mutta koska \triangle Q\sim\Delta T, voidaan teoreettinen maksimihyötysuhde eli ns. Carnot-hyötysuhde laskea seuraavasti:

\eta_{max}=\frac{T_{1}-T_{2}}{T_{1}}

T_{1} on lämpösäiliön ja T_{2} kylmäsäiliön lämpötila kelvineinä. Lämpövoimakone saavuttaa siis suurimman hyötysuhteensa, kun säiliöiden välillä vallitsee mahdollisimman suuri lämpötilaero.

Lämpövoimakoneista puhuttaessa hyötysuhde η kertoo, kuinka suuren osan laite muuntaa saamastaan energiasta työksi (W). Sen sijaan yleisesti esimerkiksi voimalaitosten tapauksessa (2.12 Energiavoimalaitokset) hyötysuhde kuvaa, kuinka hyvin laite muuntaa käyttämänsä energian hyötyenergiaksi:

\eta=\frac{E_{anto}}{E_{otto}}=\frac{P_{anto}}{P_{otto}}

On tärkeää huomata, että hyötysuhde on pienempi kuin 1, ja se ilmoitetaan usein prosentteina. Yllä olevan kaltainen lämpövoimakone kuvastaa ns. Carnot’n konetta, jonka hyötysuhde on paras mahdollinen. Tosielämän koneissa muutokset tapahtuvat osin päällekkäin ja samanaikaisesti, eikä yhtä suureen hyötysuhteeseen päästä.

2.11 Jäähdytyskone ja lämpöpumppu

Jäähdytyskone toimii päinvastoin kuin lämpövoimakone. Se ottaa mekaanista työtä W, jolla se jäähdyttää kylmäsäiliötä lämpömäärän Q_{2} ja samalla lämmittää lämpösäiliötä tehdyn työn ja kylmäsäiliöstä otetun energian Q_{1} verran. Tapahtumia kuvaa yhtälö Q_{1}=Q_{2}+W. Jäähdytyskoneen suorituskykyä havainnollistetaan kylmäkertoimella, joka kuvaa sitä, kuinka moninkertainen kylmäsäiliöstä poistettu lämpömäärä on suhteessa siihen tehtyyn työhön:

\epsilon=\frac{Q_{2}}{W}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}-Q_{2}}

Maksimaalinen suorituskyky on

\epsilon_{max}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}},

jossa T_{2} on kylmäsäiliön ja T_{1} lämpösäiliön lämpötila.

Esimerkki 2.14 Pakastin sijaitsee huoneessa, jonka lämpötila on 22 °C.

a) Mikä on pakastimen maksimaalinen suorituskyky, kun sen lämpötila halutaan pitää -18 °C:ssa?

b) Kuinka suuri on pakastimen maksimaalinen viilennysteho, jos sen sähköenergiasta ottama mekaaninen teho on 105 W?

Ratkaisu:

a) Pakastin on esimerkki jäähdytyskoneesta, jossa kylmäsäiliönä toimii siis pakastin ja lämpösäiliönä ympäröivä huone. Jäähdytyskoneen maksimaalinen suorituskyky saadaan Carnot-hyötysuhteen avulla. Sijoitettaessa lämpötiloja kaavaan täytyy muistaa muuntaa celsiusasteet kelvineiksi:

\epsilon_{max}=\frac{T_{2}}{T_{1}-T_{2}}=\frac{(-18+273,15)~K}{(22+273,15)~K-(-18+273,15)~K}=6,37875\approx 6,4

b) Pakastimen maksimaalinen suorituskyky voidaan ilmoittaa myös energioiden ja tehon avulla:

\epsilon_{max}=\frac{Q_{2}}{W}=\frac{\frac{Q_{2}}{\Delta t}}{\frac{W}{\Delta t}}=\frac{P_{viilennys}}{P_{mekaaninen}}

P_{viilennys}=\epsilon_{max}P_{mekaaninen}=6,37875\cdot 105~W=669,77~W\approx 670~W

Lämpöpumpun periaate on sama kuin jäähdytyskoneen, mutta sitä käytetään lämmittämiseen viilentämisen sijaan; siispä sen suorituskyky lasketaan lämmityksen ja työn suhteena:

\epsilon=\frac{Q_{1}}{W}=\frac{Q_{1}}{Q_{1}-Q_{2}}

Maksimaalinen suorituskyky on muotoa

\epsilon_{max}=\frac{T_{1}}{T_{1}-T_{2}}

Toisin kuin lämpövoimakoneelle laskettava hyötysuhde, jäähdytyskoneelle ja lämpöpumpulle laskettava suorituskyky voi olla suurempi kuin 1.

LämpövoimakoneJäähdytyskoneLämpöpumppu
Muuttaa energiaa työksi lämpötilaeron avulla.Siirtää työn avulla lämpöenergiaa kylmäsäiliöstä lämpösäiliöön, jolloin lämpötilaerot kasvavat entisestään.Siirtää työn avulla lämpöenergiaa kylmäsäiliöstä lämpösäiliöön, jolloin lämpötilaerot kasvavat entisestään.
Käytetään mekaanisen energian luomiseen.Käytetään kylmäsäiliön viilennykseen.Käytetään lämpösäiliön lämmitykseen
\eta=\frac{W}{Q_{1}}=\frac{Q_{1}-Q_{2}}{Q_{1}}\eta=\frac{Q_{2}}{W}=\frac{Q_{2}}{Q_{1}-Q_{2}}\eta=\frac{Q_{1}}{W}=\frac{Q_{1}}{Q_{1}-Q_{2}}
Esimerkiksi auton polttomoottori.Esimerkiksi jääkaappi.Esimerkiksi asunnon lämmityksessä käytettävä ilmalämpöpumppu
lampovoimakonejaahdytyskonejaahdytyskone
Taulukko 2.5: Termodynaamiset koneet

2.12 Energiavoimalaitokset

Kurssin lukiokirjojen loppuosassa käydään melko tarkasti läpi eri voimalatyyppien toimintaperiaatteet. Edellisten valintakokeiden perusteella aihetta käsittelevät sanalliset tehtävät ovat kuitenkin hyvin epätodennäköisiä. Aikaa kannattaa käyttää mieluummin laskuesimerkkien ja kuvien kautta asian ymmärtämiseen. Tässä käsitellään tärkeimmät perusteet aiheesta.

Vesivoimala

Vesivoimalan toiminta perustuu energian muodonmuutoksiin. Voimalassa ylemmällä tasolla olevan veden potentiaalienergia muuntuu veden virtaus- eli liike-energiaksi, joka taas pyörittää magneettikentässä olevia käämejä (generaattoria) muodostaen vaihtovirtaa käämiin.

Esimerkki 2.15 Hooverin pato Coloradojoessa on Yhdysvaltojen kuuluisin pato, jonka vesivoimala tuottaa energiaa 17 turbiinin avulla. Turbiinien yhteenlaskettu energiantuottoteho on suurimmillaan 2080 MW, ja niiden läpi virtaa enimmillään 1 100 kuutiometriä vettä sekunnissa. Mikä on vesivoimalan hyötysuhde, kun veden korkeusero eri puolilla patoa on 220 m?

Ratkaisu:

Vesivoimala muuntaa veden potentiaalienergian turbiinien liike-energian kautta sähköenergiaksi. Hyötysuhde kertoo sen energiamäärän/energiatuottotehon, joka saadaan sähköenergiana käyttöön (P_{anto}) suhteessa veden potentiaalienergiaan (P_{otto}).

\eta=\frac{P_{anto}}{P_{otto}}=\frac{P_{sahko}}{P_{vesi}}

Voimalan ottoteho P_{otto}=P_{vesi} voidaan ilmoittaa myös potentiaalienergian ja ajan suhteena:

P_{otto}=\frac{E_{otto}}{\Delta t}=\frac{mgh}{\Delta t}=\frac{\rho V}{\Delta t}gh

Sijoittamalla tämä ja tunnetut arvot hyötysuhteen yhtälöön saadaan ratkaistua vesivoimalan hyötysuhde:

\eta=\frac{P_{anto}}{P_{otto}}=\frac{P_{hyoty}}{\frac{\rho V}{\Delta t}gh}=\frac{2080\cdot 10^{6}~W}{\frac{1,1\cdot  10^{3}~m^{3}\cdot 1000~\frac{kg}{m^{3}}}{1s}\cdot 9,81~\frac{m}{s^{2}}\cdot 220~m}=0,87615\approx 88 ~\%

Kivihiilivoimala ja polttoaineen lämpöarvo

Kivihiilivoimalan idea on saada vesi höyrystymään hiiltä polttamalla, jolloin paineistettu höyry pyörittää turbiinia. Turbiinin liike-energian generaattori muuntaa sähköenergiaksi ja vaihtovirraksi.

Lämpöarvolla tarkoitetaan palamisreaktiossa vapautuvaa energiaa polttoaineen massayksikköä kohden:

H=\frac{Q}{m}

Lämpöarvon yksikkö on

[H]=\frac{[Q]}{[m]}=\frac{J}{kg}

Esimerkki 2.16 Meri-Porissa sijaitsevan lauhdevoimalan polttoaineena käytetään kivihiiltä. Tunnin aikana kivihiiltä poltetaan 183 tonnia. Millä teholla voimalaitos tuottaa energiaa, kun sen hyötysuhde on 44,2 %? Kivihiilen lämpöarvo on 25,5 MJ/kg.

Ratkaisu:

Voimalaitoksen ottoteho P_{otto} saadaan laskettua tunnin aikana kivihiilestä vapautuneen energian määrästä:

P_{otto}=\frac{E_{otto}}{\Delta t}=\frac{Hm}{\Delta t}=\frac{25,5\cdot10^{6} ~\frac{J}{kg}\cdot 183\cdot 10^{3}~kg}{60\cdot 60~s}=1,29625\cdot 10^{9}~W

Kun voimalan hyötysuhde tunnetaan, voidaan selvittää sen energiantuottoteho P_{anto}:

\eta=\frac{P_{anto}}{P_{otto}}

P_{anto}=\eta P_{otto}=0,442\cdot 1,29625\cdot 10^{9}~W=572942500~W \approx 573 ~MW

img_9763